唐代那次：从「千里差一寸」到「三百五十一里八十步」

开元十二年（724 年），张遂主持修历，朝廷派太史监南宫说到河南平原测日影。史载他「择河南平地，以水准绳，树八尺之表」：先用水准与绳墨找平地面、校正方向，再立起八尺高的表。四座表大致沿南北一线排开：滑州白马（今滑县）、汴州浚仪（今开封）、许州扶沟、豫州上蔡。每座表测两项：夏至正午的影长，和北极出地的高度——后者是用一件叫覆矩的测角器，斜对着北极测出来的。四地之间的路程，也一并量了下来。

这四站只是那次测影里居中的一小段。同一年，测影铺得极广：北到铁勒，北极出地量得五十二度；南到交州与林邑，那里的夏至正午，太阳已经转到头顶以北，影子反落在表的南面——交州三寸三分，林邑五寸七分，林邑记下的北极高只有十七度四分。中间还有蔚州横野军、朗州武陵等处，南北铺开三十多度。可那条比例只从河南这四站算出来——史书给出的地面路程，只有白马到上蔡这一段。比例定下之后，接着的一句是「自此为率推之」：拿它去推算各地的晷影长短，武陵、蔚州那些读数正是在这一步派上用场。换句话说，四站是比例的来处，其余各站是它的去处。

四组数，两条结论

四地夏至的影长，由北向南依次是一尺五寸七分、一尺五寸微强、一尺四寸四分、一尺三寸六分半；北极出地的高度，则是三十五度三分、三十四度八分、三十四度三分、三十三度八分。从最北的白马到最南的上蔡，「大率五百二十六里二百七十步」，两地影长差了二寸有余，北极高度差了一度半。唐代的一度是将周天分成三百六十五又四分之一份，与今天的度并不相同，这里照史书的用法。

第一条结论针对旧说。汉代流传下来的老说法是「日影千里差一寸」：地面南北每隔一千里，八尺之表的夏至影长就差一寸。按这条规矩算，五百多里本来只该差半寸，实测却差了二寸有余，足足是旧说的四倍。《新唐书》记下的判词干脆利落，只有两个字：「妄矣」。

第二条结论给出了一个新比例。史书记载，北极高度「虽秒分微有盈缩，难以目校」，但粗略算下来，「三百五十一里八十步，而极差一度」——拿五百二十六里二百七十步除以一度半，正好就是这个数。影长与里程并不成比例，北极高度与里程才成比例。用今天的话说，他们量出来的正是：纬度每差一度，地上有多远。

与埃拉托色尼同一个内核

这正是埃拉托色尼测量思路的另一种做法。埃拉托色尼白天测太阳：两地正午太阳偏离头顶的角度之差，就是两地在球心张开的角。南宫说夜里测北极：北极出地的高度，在球面上恰好等于当地的纬度，两地北极高度之差，同样是两地的纬度差。白天的太阳、夜里的北极，量到的都是同一个角；再配上地上的里程，就能算出每一度对应的地面距离。不同的是，唐人没有再往前走一步，把它乘成整圈：这个数在他们手里只是修历用的参数，把它变成「地球有多大」，是今天的人替他们做的换算。

把三百五十一里八十步折算成今天的单位，各家给出的数值在一百三十公里每度上下，具体多少，取决于唐尺取多长、古度怎么换成今天的度——大体比今天公认的每度弧长大了一成半左右。究竟偏在哪一步，是尺的长度、里程的量法，还是北极高度的读数，本课不下断语；正文时间轴上，这个值和其他古代值一样，都带着「≈」。