趣味大地测量学/主题 01 · 地球椭球理论/第 2 集 · 地球怎么“变圆”，又怎么变得可测/硬核
埃拉托色尼的两条近似各值多少
太阳视差在两城之间只有一角秒上下，「阳光平行」几乎不花钱；而两城偏离同一条子午线约三度，实际距离比南北分量长了百分之六七——真要付代价的是后面这一条，也正是正文里最不起眼的那句。
正文里有两处「可以看作」：阳光可以看作平行，两座城可以看作在同一条子午线上。这两处近似到底有多大代价，完全可以算出来。但在动手算之前，得先讲清楚为什么非要这样假设不可。
天上的角只认南北
正午的太阳落在观测者的子午面内，也就是正南、正北与头顶三个方向确定的平面。如果两座城恰好在同一条子午线上，两地的竖直线与太阳光线便在同一平面内，两地正午的天顶距之差，就正好等于两根竖直线的夹角——这既是两城的纬度差，也是它们在球心张开的角。埃拉托色尼测得的 7.2°，正是这样一个纬度差。
这里暗含着两个前提。第一，太阳必须足够远，从两座城看去才算同一个方向，两个天顶距相减才等于两根竖直线的夹角。第二，天上的角只认南北、不认东西：它量出的是纬度差，用来对应计算的地表距离，就必须是正南北方向的一段子午线弧；两城若在东西方向上有所错开，走过的路程就会比这段子午线弧更长。
算式一：阳光有多接近平行
两城观测太阳的方向差，就是两城连线在太阳处张开的夹角。太阳到地球的距离取一个天文单位（定义值 149 597 870.7 公里），两城间距取正文里的 ≈790 公里：
一角秒是一度的三千六百分之一，这个夹角比 7.2° 小了两万多倍。
「阳光平行」这项近似几乎毫无代价：由此带来的偏差连一角秒都不到，古代任何仪器都测不出来。
算式二：两城偏离子午线有多远
按今天的坐标：阿斯旺（古赛伊尼）约 24.09°N、32.90°E，亚历山大约 31.20°N、29.92°E（本页自取，保留到小数点后两位，未进全课基准表）。两城经度相差 2.98°，纬度相差 7.11°。沿用上一集那条链——把经纬度化为方向向量、做点积、取反余弦——算出两城在球心张开的角：
每个分量都能用 、、 复算出来；上一集那十行代码原样就能运行。
两城间的大圆弧对应 7.58°，而正南北方向只需要 7.11°，二者之比为 1.066：两城间的实际距离比南北分量长了约 6.6%。换句话说，从阿斯旺看亚历山大，方向偏离正北将近 20°；走过的路程中偏向西方的那一部分，对太阳测出的角度毫无贡献。如果把两城间的实际路程直接当作子午线弧去匹配 7.2°，算出的周长就会被白白撑大这几个百分点。
这里的 7.11° 是现代地图给出的纬度差，正文中的 7.2° 则是两千多年前的一次读数。两个数据各有所本，本页不拿它们互相评判。
两条近似，两个量级
阳光平行的近似，代价只有万分之几；同处一条子午线的假设，代价却达到了百分之几——两者差了三个数量级。埃拉托色尼真正付出代价的是后一个假设，而它恰恰是正文里最不起眼的那句「近似位于同一条子午线上」。