影子只给比，不给角

正文里说，赛伊尼的深井被阳光照到底的那一刻，北边亚历山大平地上的木杆正投着清晰的影子。木杆确实是这么用的，但影子本身给不出角度：一根竖直立着的杆子，能量出来的只有两段长度——杆有多高，影有多长。要把这两段长度换算成「太阳偏离头顶多少」，中间还差着一步；而那一步要用的东西，埃拉托色尼那个年代还没有。

一根立杆能做的三件事

竖直立杆测影，是最古老的天文仪器。希腊人叫它 gnomon，中国圭表上立着的那根「表」也是它。在埃及，这样的立杆在他之前就已经用了一千多年，用法有三种：影子最短的那一刻是正午，一年里影子最短的那天是夏至；影子最短时的指向是正南正北；再有就是记下杆高与影长之比，用它来表示一地的纬度。

第三种用法出现得最晚——只有先知道大地是球体，记录纬度才有意义。一世纪的普林尼记下过一批这样的读数：春分秋分的正午，埃及的影长略多于杆高的一半，罗马的影子比杆短九分之一，到了意大利北部的威尼西亚一带，影子则与杆等长。当时记录纬度就是这样：不给角度，只给一个比值。

这类工具并不简陋。埃及的表常把顶端做成叉形，好让影子的边缘更利落清晰；后来人们还用铅垂线校正垂直；在靠近北回归线的埃及南部，夏天的影子短得难以量准，干脆把杆朝正北倾斜一个固定角度，用支架撑住。普林尼还提到，旅行者随身带的日晷无法处处通用——只要走出三百至五百斯塔德，读数就会改变。

可不管做得多么精巧，它交出来的始终只有一个比值。

从比值到角度，中间缺了一样东西

把「影长与杆高之比」换成角度，今天按一次反正切就行。但那时根本没有三角函数。喜帕恰斯后来编制过一张圆内弦长表，算是这条路上最早的尝试，可那张表分得很粗，学者复原出的最小档在七度半上下；更何况，他比埃拉托色尼晚了将近一个世纪。

当时连「度」都还不在手边。把圆周分成三百六十份本是巴比伦人的算法，传入希腊天文学要等到公元前二世纪：先是许普西克勒斯把黄道分成三百六十份，再由喜帕恰斯把这种分法推广到所有的圆。埃拉托色尼没赶上。

照着比值把三角形画出来、再去量那个角，当然也是一条路，但那同样需要手头有一件分度足够精细的仪器。

古代文献里留下的记载，写下的确实不是度数。克莱奥梅德斯转述他的结论时是这么说的：从赛伊尼到亚历山大的这段距离，必定是地球大圆的五十分之一。这是与他的角度测量有关、唯一留存至今的数值。正文里的 7.2°，只是后人替他把「五十分之一」换算过来的表述。

顺带提一句这位转述者：我们对这次测量的了解，几乎全来自他的这一段文字，而他生活的年代本身就大有争议——早的推测定在公元前一世纪，晚的则到了公元四世纪。

一个直接记为「圆周的几分之一」的读数意味着：他手里的仪器能把角度直接读出来，不必先量两段长度再去折算。那会是一件什么样的仪器？

两件能直接读出角度的仪器

第一种是一只碗。

希腊人称它为 skaphē，字面意思是盆或船身，随身携带的小号叫 skaphion。碗的内壁挖成半球面，中心立一根针，针尖正好落在这个半球的球心上。太阳照过来，针尖的影子落在碗壁上；从影尖到针根的那段圆弧，在球心张开的夹角正好是太阳偏离头顶的角度。碗壁上预先刻好分度，这段弧占整圈的几分之几，答案就是几分之几——中间没有换算这一步。

克莱奥梅德斯描述亚历山大那次读数时，记录的正是这个操作：从影子的末端到针的根部画一段弧，它在碗壁上是一段大圆弧；量下来，正好是碗自身那个圆周的五十分之一。

第二种是一副铜环。

托勒密在《天文学大成》里描述过一具专测太阳天顶距的仪器：取一个铜环，按大圆的三百六十度刻满分度，再依尺寸把每一度尽量细分，把环立在子午面内；里面套一个能转动的小环，小环的一个侧面上，正对着的两处各装一片同样大小的小板。正午时转动内环，直到下面那片板完全落进上面那片板的影子里；这时指针在外环上指出的，就是太阳偏离天顶的度数。

托勒密写下这段记录已是三四百年之后，但这类仪器并不是他那个时代才有的：麦罗埃一处公元前二世纪的建筑外墙上，涂鸦里就画着一位坐着的观测者、一副类似的圆环，旁边还有太阳。

他当年用的究竟是哪一件，并没有定论。埃拉托色尼自己的著作一部都没有流传下来，克莱奥梅德斯则只提到了那只碗。有学者据此认为他用的就是带刻度的半球碗；也有学者怀疑古代的碗达不到这里需要的精度，托勒密记载的铜环更有可能，麦罗埃墙上的涂鸦便是一处佐证。

赛伊尼那口井，是地标不是量具

正文中那口夏至正午被阳光照透井底的深井，确有其事。普林尼记载得很清楚：赛伊尼这口井正是为了验证此事而凿的，那一刻阳光直达井底；斯特拉波也提到过它。

但没有任何一部古代文献把这口井和埃拉托色尼联系在一起。它只是北回归线的一处地标——一件让人一眼看清「太阳就在头顶」的展示品，而不是用来记录读数的量具。还有学者根据普林尼的措辞推断，这口井很可能是在他计算完毕之后才开凿的。

真正需要测量读数的地点在北边的亚历山大；赛伊尼这一头，只需要确认「没有影子」这个事实。更何况，「没有影子」本身也不是一个点：克莱奥梅德斯提到，赛伊尼周围直径三百斯塔德的一整片范围里，夏至正午都测不到影子。

那段路，是问来的

角度这一头交代完了，剩下的就是地面上的五千斯塔德。

这个数字不是实地量出来的。埃拉托色尼自己就曾说明：对于遥远的距离，他只是照录前人记下的数字，未曾核实，纯粹是照原样转述。

当时可供参考的书确实有一批：托勒密王朝派往尼罗河上游的人，写过沿途的行程记述。可他们记下的是行程，不是丈量——舰队司令提摩斯提尼报赛伊尼到梅罗埃那一段，给出的干脆就是一个时间：六十天的航程。

埃及人记录路程用的单位，本身就是这个性质。斯霍伊诺斯的埃及原词意思是「河」，指的是拉纤走完的一段水路，长短自然随地形而变。斯特拉波就提到，即便在同一条尼罗河沿岸，各处折算的标准也互不相同：一斯霍伊诺斯有的折合三十斯塔德，有的折合四十，也有折合六十乃至一百二十斯塔德的。

连埃拉托色尼自己书里的数字都前后对不上。《地理学》里，赛伊尼到海边的距离记为五千三百斯塔德；可计算地球时，用的却是五千。多出的三百究竟是什么？有人认为正是赛伊尼周围那片无影带的跨度，也有人说它来自埃及单位的折算，两种说法至今都还只是推测。

于是这套办法的两个输入，形状根本不同：天上那一头是一个可以直接读出的比——圆周的五十分之一；地上这一头是一段行程，是走过的人事后报回来的。至于那把斯塔德本身有多长、折合成公里为什么只配保留两位有效数字，则是另一页的事了。