比鲁尼的一座山

十一世纪初，比鲁尼被困在今天巴基斯坦北部盐岭一座叫南达纳的堡垒附近。他本想沿用前人的办法，去里海西南岸的平原上走一段南北路程，测量北极高度相差多少，却未获支持。困守期间，他发现附近有一座山峰正对着一片平坦如海的平原，由此想出一个完全不必在沙漠里长途跋涉的办法。

一个直角三角形

站在高出平原 $h$ 的山顶望向远处的地平线，视线正好与球面相切。连接球心 $O$、切点 $A$ 与眼睛 $H$，因 $OA$ 垂直于视线 $HA$，便得到一个直角三角形。山顶处的水平线与视线夹着一个微小的角——也就是地平线「沉」到水平线以下的角度，记作俯角 $d$。这个 $d$ 恰好等于球心处的 $\angle AOH$：水平线垂直于 $OH$，视线垂直于 $OA$，两组边两两垂直，两个角自然相等。于是在直角三角形里

比鲁尼当年记下的两个数据是：俯角 $0^{\circ }34^{\prime }$——他用仪器测得地平线比东西水平线低「不到三分之一度加四分之一度」，折算取作 34 分；山高 $652\frac{1}{20}$ 腕尺，是在平原上选两处分别仰测山顶后算出来的。代入公式一算，他得出每一度合 56 阿拉伯里出头，与一百多年前马蒙测量队的五十六又三分之二相当接近。但他最终还是采用了前人的数，理由是「他们的仪器更精，下的功夫也更大」。

妙在哪里，难在哪里

这个办法的妙处显而易见：不需要第二座城，不用跑几百公里的长路，也不用苦等夏至；只要一座山、一件测角的仪器，就足够了。

难处则全藏在那个俯角里。现实中任何一座山，$d$ 都远小于一度；当 $d$ 很小时，$1-\cos d\approx d^2/2$，公式便化作

$$R\approx \frac{2h}{d^2}(d\text{取弧度})$$

$d$ 落在分母上，还要算平方，这让俯角的相对误差传递到 $R$ 时直接翻倍：俯角只要读差一成，算出的半径就得差上两成。更麻烦的是空气。光线穿过大气时会略向下弯，把地平线稍稍抬高，测得的俯角因而总是偏小。如果不加修正，就会系统性地把地球算大——而比鲁尼那个时代，还不知道需要修正这一项。

后世研究者对照地图和实地重新核算过：那座山峰高出平原大约 265 米，与他记下的 652 腕尺（约 321 米）对不上；把大气折射也算进去，按他的山高，本该看到的俯角也不是 34 分。有研究者据此推测，实测实在太困难，他最后很可能是用当时已知的每度里数和自己假定的山高，反推出了那个 34 分。但这并不影响这个办法本身：它是对的，而且极为漂亮——只是想把它做准，比把它想出来难得多。