趣味大地测量学/主题 01 · 地球椭球理论/第 3 集 · 从圆球到椭球/深入
三角测量怎样成了量地球的尺
用三角形定位的办法十六世纪已有人写下；斯涅尔测角读到一分左右，半个世纪后皮卡尔给测角仪器装上望远镜，读到十秒左右。
正文用三句话带过了这段历史：十六世纪弗里修斯记述三角测量，斯涅尔用它推算出荷兰的一段子午线弧，皮卡尔测角用上望远镜、计算引入对数。这三句话跨了一百多年。其间方法本身没有变——量准一条基线，测出一串角，一步步往下算——变的是角能读到多细。
弗里修斯写下方法
1533 年，在鲁汶从事地理与制图的弗里修斯增订再版阿皮安的《宇宙志》，随书附了一本小册子，说明三角测量的原理，以及怎样用它精确测定各地位置。[1]
方法写在纸上，能不能派上用场，要看角度测得准不准。三角网里每个角的误差，都会顺着算出的边一步步传下去。
斯涅尔读到一分
八十多年后，斯涅尔在荷兰铺开三角网，推算出正文提到的那段子午线弧。据后人记载，他测角用的象限仪刻度只到 2′，读数时再估读到 1′。[3]
1′ 是一度的六十分之一，看似很小。但放到地面上：十公里外的目标，方向只要偏 1′，横向就会差出约 2.9 米（课程算例：）。
皮卡尔装上望远镜
又过了半个世纪，法国天文学家皮卡尔重新做了这项测量。1667 年，他给测角用的象限仪装上望远镜瞄准器。望远镜瞄准并非他的独创，此前已有几位学者做过；皮卡尔的贡献，是把它系统引入了天文观测、大地测量与水准测量。[5]
1669 年起，他在巴黎南面用木杆丈量基线，从维勒瑞夫一直量到瑞维西，全长 5663 托阿斯（托阿斯是法国旧长度单位，约合 1.949 米；这条基线约 11 千米）。随后借助十三个三角形，从巴黎南郊的马尔瓦赞一路推算到亚眠附近苏尔东的钟楼。两端纬度相差 1°22′55″，据此定出每度 57060 托阿斯（约合 111 千米）。[7][5][8]这次测量使用的仪器全部加装了望远镜瞄准器，角度能读到约 10″。[5]计算时他还用上了对数：三角网里全是多位数乘除，查对数表能直接把乘除化为加减。[8]
10″ 只有 1′ 的六分之一。同样是十公里外的目标，方向偏 10″，横向就只差约半米。
这样的精度用来做什么
皮卡尔测出的这一度，成了此后几十年的标尺。牛顿在《原理》里，就用它按正球推算过地球周长。[10]卡西尼父子把子午线向南北延伸时，没有重新丈量基线，所有三角形都从皮卡尔那条基线依次往下推算。[7]
要检验各地的一度是否一样长，比的就是很小的差别。几处测出的一度相差多少：深入三个一度的账本。
参考文献与资料
- [1] J. J. O'Connor, E. F. Robertson. Gemma Frisius — MacTutor History of Mathematics (2002). 学术史传记1533 年增订版《宇宙志》所附小册子：三角测量的原理与用三角形精确确定各地位置。同站《斯涅尔》一页称斯涅尔为三角测量的创始者，两说并存，页面只并置事实。 ↩
- [2] Gemma Frisius. 三角定位图（Libellus de locorum describendorum ratione，安特卫普 1553 年版） (1553). 图片维基共享资源文件「Gemma Frisius - Driehoeksmeting.jpg」；莱顿大学图书馆藏本。公有领域。 ↩
- [3] J. J. O'Connor, E. F. Robertson. Willebrord van Royen Snell — MacTutor History of Mathematics (2010). 学术史传记Eratosthenes Batavus（1617）；阿尔克马尔至贝亨奥普佐姆约 130 km、两城大致同经线；所引 Bowie（1929）：测角用的象限仪刻到 2′、估读到 1′。 ↩
- [4] Willebrord Snellius. 《Eratosthenes Batavus》书中插图（莱顿—佐特尔沃德） (1617). 图片维基共享资源文件「Snellius baseline bw.png」。公有领域。 ↩
- [5] J. J. O'Connor, E. F. Robertson. Jean Picard — MacTutor History of Mathematics (2008). 学术史传记1667 年给象限仪装上望远镜瞄准器（所引 van Helden：瞄准器与测微器另有发明者）；《测量地球》（1671）：维勒瑞夫—瑞维西基线、十三个三角形、马尔瓦赞至苏尔东；仪器读到约 10 角秒。 ↩1 ↩2 ↩3
- [6] Jean Picard. 《Mesure de la Terre》第一幅图版：装两具望远镜的象限仪 (1671). 图片维基共享资源文件「Picard 18.jpg」；图版上题「Première Planche」。公有领域；页面上的图裁去了图版底边外的馆藏印章。 ↩
- [7] Isaac Todhunter. A History of the Mathematical Theories of Attraction and the Figure of the Earth, Vol. I (1873). 学术史专著第三章 Art. 100（卡西尼《地球的大小与形状》1720 年出版）、Art. 102—104（皮卡尔 1669 年起测，基线 5663 托阿斯、一度 57060 托阿斯；卡西尼的三角形全从皮卡尔基线推算；南段每度 57097、北段 56960 托阿斯）；第七章 Art. 184、190、195、197（拉普兰 1736—1737 年测量、57437.9 托阿斯、当时版画中的莫佩尔蒂及十九世纪初的复测）；第八章 Art. 209、211（波莱尼的书信）、Art. 236—238（法国一度的各次修订、卡西尼·德蒂里 1740 年的重测、基线误差不改变比例）；第十二章 Art. 353、355、358（秘鲁的基线与校核基线；布格 56753、拉孔达明 56749 托阿斯）。托阿斯（toise）是法国旧长度单位；拉普兰的数值后来复测时被发现偏大。 ↩1 ↩2
- [8] 美国国防测绘局（Defense Mapping Agency）. Geodesy for the Layman（DMA TR 80-003）— Chapters I–III (1984). 官方资料第一章：皮卡尔的弧度测量（木杆量基线、望远镜测角、对数计算）、卡西尼南北两段的比较、秘鲁与拉普兰的测量；第三章：Triangulation（基线与两端的角；每个三角形的角通常都要测）、Astronomic Position Determination（铅垂线与恒星）。美国政府出版的大地测量入门手册，由 NOAA 国家大地测量局网站转载。 ↩1 ↩2
- [9] Jean Picard. 《Mesure de la Terre》装饰首字母：丈量基线 (1671). 图片维基共享资源文件「Lettrine base Picard.jpg」；法国国家图书馆 Gallica 扫描。公有领域。 ↩
- [10] Isaac Newton；Andrew Motte 英译，N. W. Chittenden 修订. The Mathematical Principles of Natural Philosophy（自然哲学的数学原理）— Book III, Propositions XVIII–XX (1687（1846 年英译本）). 原始文献译本第三卷命题 18（自转使赤道隆起、两极收扁；海水与木星的例子）；命题 19（皮卡尔的一度与卡西尼父子的子午线，按球形推算周长；恒星日与赤道上重力和离心力之比 289∶1；两条水渠的平衡；自转快慢与两轴之差）；命题 20（重力与到地心的距离；里歇尔在卡宴的摆钟与秒摆；热胀的影响；重力与一度的长度都向两极增加）。据拉丁文第三版（1726）译出；维基文库电子转录。 ↩