趣味大地测量学/主题 01 · 地球椭球理论/第 3 集 · 从圆球到椭球/深入
三个一度的账本
拉普兰、法国、赤道三处量出的一度依次变短，首尾相差约 1.2%，是卡西尼南北两段之差的五倍，当年的误差再也遮不住。
正文只给出了方向：北极圈附近的一度比法国长，赤道附近比法国短。这里把当年的实测数据摆在一起，看看差了多少，这次的差距又为什么没被误差掩盖。
记账的单位
以下数据均以托阿斯（toise）为单位。这是当时法国的长度单位：1 托阿斯 ＝ 6 法尺，约合 1.949 米，1 法尺约合 32.5 厘米。[3]账上的数照当年记录写，只用来比较长短。
三本账
- 拉普兰（北极圈附近）：莫佩尔蒂等人在 1736 至 1737 年间测得，被北极圈平分的那一度长 57437.9 托阿斯。[2]
- 法国（巴黎南郊到亚眠）：皮卡尔自 1669 年起测，一度长 57060 托阿斯。[2][4]
- 赤道（基多一带）：1743 年完成测量。[5]折算到海平面、从赤道起算的第一度，布格得 56753 托阿斯，拉孔达明得 56749 托阿斯。[2]
把这三组数两两相减：拉普兰比法国长 377.9 托阿斯，约 0.66%；法国比赤道（取布格的数据）长 307 托阿斯，约 0.54%；首尾相差 684.9 托阿斯，约为法国那一度的 1.2%。
卡西尼的两段
再看卡西尼。他以巴黎为界，把子午线分成两段：南段跨了近 6°19′，每度 57097 托阿斯；北段跨了 2°12′ 多，每度 56960 托阿斯。北段短了 137 托阿斯，约 0.24%。[2]后来的测量证实，纬度一度越往北越长，这 137 托阿斯的差连方向都是反的。既然真实的变化方向相反，两段之差里的误差就必然大于 137 托阿斯。
问题也不在基线上。两段都由皮卡尔同一条基线算得，基线量错只会让两段按同一比例伸缩，改变不了谁长谁短。[2]1739 年至 1740 年，卡西尼·德蒂里重测，北法国一度得 57081½ 托阿斯，南法国得 57048 托阿斯，北段反倒长了 33½ 托阿斯。[2]在法国境内，重测给出的差值只有三十多托阿斯，比当年的误差还小。
把测点拉开
首尾之差 684.9 托阿斯，是卡西尼两段之差 137 托阿斯的五倍。卡西尼那两段的中点，纬度只差四度多；拉普兰与赤道却相距六十多度。测点拉得越开，两处一度的长短差距就越大，[2]大到当年的误差再也遮不住。
后来的修正
拉普兰的数据后来证实偏大。十九世纪初，斯万贝里等人在斯德哥尔摩科学院主持下重测拉普兰弧，测得每度 57196.159 托阿斯（两次所测那一度的中点不完全相同）。[2]换用这个数值，首尾之差缩到约 443 托阿斯，约 0.78%，依然是卡西尼那 137 托阿斯的三倍多。
法国那一度后来也经历过修订。皮卡尔的天文观测经过校正与重测，基线也查出量长了将近 6 托阿斯；前后几个修订值落在 56926 到 57183 托阿斯之间。按数学史家托德亨特的说法，皮卡尔在天文和测地两头的误差，碰巧几乎相互抵消了。[2]
无论取哪一个修订值，三处的长短次序都没有变：拉普兰最长，法国居中，赤道最短。
参考文献与资料
- [1] Jean Daullé 刻，据 Robert Levrac-Tournière 画作. Portret van Pierre-Louis Moreau de Maupertuis in een portiek (1741). 图片荷兰国立博物馆 RP-P-OB-56.951；图像经维基共享资源取得。CC0；页面上的图裁到版画的压印框，去掉了页边空白与后人的铅笔编号。 ↩
- [2] Isaac Todhunter. A History of the Mathematical Theories of Attraction and the Figure of the Earth, Vol. I (1873). 学术史专著第三章 Art. 100（卡西尼《地球的大小与形状》1720 年出版）、Art. 102—104（皮卡尔 1669 年起测，基线 5663 托阿斯、一度 57060 托阿斯；卡西尼的三角形全从皮卡尔基线推算；南段每度 57097、北段 56960 托阿斯）；第七章 Art. 184、190、195、197（拉普兰 1736—1737 年测量、57437.9 托阿斯、当时版画中的莫佩尔蒂及十九世纪初的复测）；第八章 Art. 209、211（波莱尼的书信）、Art. 236—238（法国一度的各次修订、卡西尼·德蒂里 1740 年的重测、基线误差不改变比例）；第十二章 Art. 353、355、358（秘鲁的基线与校核基线；布格 56753、拉孔达明 56749 托阿斯）。托阿斯（toise）是法国旧长度单位；拉普兰的数值后来复测时被发现偏大。 ↩1 ↩2 ↩3 ↩4 ↩5 ↩6 ↩7 ↩8 ↩9 ↩10
- [3] Hélène Horsin Molinaro（Éduscol，法国国民教育部）. Du Système métrique au Système international d’unités (SI) (2025). 教学资源§1.3（第 5 页）十八世纪的长度单位：toise ＝ 6 pieds（≈ 1,949 m）。页面上「1 法尺约合 32.5 厘米」由 1.949 米 ÷ 6 算出。 ↩
- [4] Isaac Newton；Andrew Motte 英译，N. W. Chittenden 修订. The Mathematical Principles of Natural Philosophy（自然哲学的数学原理）— Book III, Propositions XVIII–XX (1687（1846 年英译本）). 原始文献译本第三卷命题 18（自转使赤道隆起、两极收扁；海水与木星的例子）；命题 19（皮卡尔的一度与卡西尼父子的子午线，按球形推算周长；恒星日与赤道上重力和离心力之比 289∶1；两条水渠的平衡；自转快慢与两轴之差）；命题 20（重力与到地心的距离；里歇尔在卡宴的摆钟与秒摆；热胀的影响；重力与一度的长度都向两极增加）。据拉丁文第三版（1726）译出；维基文库电子转录。 ↩
- [5] J. J. O'Connor, E. F. Robertson. Charles-Marie de La Condamine — MacTutor History of Mathematics (2014). 学术史传记1735 年出发测量赤道附近的一度子午线；在基多会合；1743 年完成测量。 ↩
- [6] Pierre-Louis Moreau de Maupertuis. 《La Figure de la Terre》：Carte de l'Arc du Méridien mesuré au Cercle Polaire (1738). 图片巴黎天文台藏本，法国国家图书馆数字化（ark:/12148/btv1b2600199s）；经维基共享资源取得。公有领域。 ↩