趣味大地测量学/主题 01 · 地球椭球理论/第 3 集 · 从圆球到椭球/硬核
把卡宴的重力算一遍
从卡宴的慢钟和缩短的秒摆，都能算出那里的重力比巴黎弱千分之三左右；自转的离心力只解释得了其中一半多到八成，剩下的要靠地球变扁来补。
正文给出了卡宴重力比巴黎弱的两层原因：一是赤道附近的自转离心作用更强，二是鼓起的赤道离地心更远。这一页来算这笔账：弱了多少，离心力能解释多少，剩下的又该归因于什么。
先看离心力
随地球一同转动时，物体仿佛受到一股背离地轴向外甩的作用，这就是离心力。若换到不随地球转动的视角，并不存在这样一股向外的力：地面上的物体每天随地球绕轴转动一周，做圆周运动需要指向转轴的力，由引力分出一部分来提供；引力被分走一部分，压在秤上、拉着摆锤的也就少了一部分。两种说法算出的数值完全一致：在距转轴为 、转动角速度为 的地方，折算成加速度便是 。[1]
从钟与摆读出重力差
摆幅不大时，单摆的周期（摆动一个来回的时间）只取决于摆长 与当地的重力加速度 ：[2]
摆长不变时， 与 成反比；周期不变时， 与 成正比。
里歇尔留下的两组观测记录，正好对应这两种情形。
摆钟：摆长没变，钟每天却慢了 2 分 28 秒。牛顿记录了它与平太阳时的偏差：一天 86400 秒，这台钟只走了 86252 秒，每摆动一次的时间都比在巴黎多了约 0.17%。[4]
卡宴的重力比巴黎弱约 0.342%。
秒摆：周期不变时， 与摆长成正比。巴黎的秒摆长 3 法尺 8⅗ 法分，一法尺合 144 法分，全长 440.6 法分；卡宴的秒摆则短了 1¼ 法分。[4]法尺和法分都是法国旧长度单位：1 法尺约合 32.5 厘米，1 法分约合 2.26 毫米。换算下来，巴黎的秒摆长约 99.4 厘米，卡宴的短了约 2.8 毫米。[5]
卡宴的重力比巴黎弱约 0.284%。
牛顿还考虑了热胀的影响。他估计，一根与秒摆差不多长的铁杆，冬夏之间的长度差大约是六分之一法分（约 0.4 毫米）；赤道一带更热，从 1¼ 法分中扣除这一热胀量后还剩 1 又 1/12 法分，对应约 0.246%。[4]
三个数值并不一致：观测本身存在误差，热胀也只能估算。[4]但可以明确的是量级——卡宴的重力比巴黎弱了千分之三左右。
离心力能解释多少
在球面上纬度为 的地方，到地轴的距离为 ，背离地轴的离心作用为 。把它分解成两部分：一部分沿半径向外，大小为 ，直接抵消引力；另一部分沿着地面，对重力大小几乎没有影响，这里忽略不计。[1]
地球相对恒星自转一周需 23 时 56 分 4 秒，即 86164 秒；[4]半径取本课的 6371 km：
赤道上这一项约为重力加速度 9.80 m/s² 的 0.35%，也就是约 1/289。
重力加速度取常用的 9.80 m/s²。[1]牛顿在《原理》里用巴黎的落体数据和皮卡尔的一度，算出的也正是 1 比 289。[4]两地纬度采用牛顿给出的数值，巴黎取 48°50′10″，卡宴取 4°55′：[4]
单是离心作用，就让卡宴的重力比巴黎弱了约 0.193%。
与前文的三个数值对照：0.193% 占了 0.342% 的一半以上，占 0.284% 的近七成，占 0.246% 的近八成。离心力解释了卡宴重力减弱的一半多到八成。
剩下的差距
扣除离心力后，还剩约 0.05% 到 0.15% 的差距，具体取决于采用哪一组观测。这部分差距主要来自地球的形状：赤道鼓起，那里的地面离地心更远，引力也就更弱；这个效应与自转带来的差异量级相当、方向相同。[1]在牛顿的均匀流体扁球模型里，两者合在一起，结论十分简洁：地面上的重量与到地心的距离成反比。[4]
要算出地球扁到什么程度才能解释剩下的差距，需要先有一套准确描述椭球的方法。
参考文献与资料
- [1] William Moebs, Samuel J. Ling, Jeff Sanny / OpenStax. University Physics Volume 1 — Gravitation Near Earth's Surface (2016). 教材§13.2：g ≈ 9.80 m/s²；Apparent Weight: Accounting for Earth's Rotation（离心作用 ω²r 及其随纬度的变化）；地球赤道隆起对重力的影响与自转效应量级相当、方向相同。 ↩1 ↩2 ↩3 ↩4
- [2] Paul Peter Urone, Roger Hinrichs / OpenStax. College Physics 2e — The Simple Pendulum (2022). 教材§16.4：单摆周期只取决于摆长与重力加速度；摆角小于约 15° 时与摆幅几乎无关。 ↩
- [3] Christiaan Huygens. 《Horologium oscillatorium》摆钟图版 (1673). 图片美国国会图书馆 LCCN 92518604（Illus. in: Horologium oscillatorium, Paris, F. Muguet, 1673）；图像经维基共享资源取得。馆方标注无已知出版限制（公有领域）。 ↩
- [4] Isaac Newton；Andrew Motte 英译，N. W. Chittenden 修订. The Mathematical Principles of Natural Philosophy（自然哲学的数学原理）— Book III, Propositions XVIII–XX (1687（1846 年英译本）). 原始文献译本第三卷命题 18（自转使赤道隆起、两极收扁；海水与木星的例子）；命题 19（皮卡尔的一度与卡西尼父子的子午线，按球形推算周长；恒星日与赤道上重力和离心力之比 289∶1；两条水渠的平衡；自转快慢与两轴之差）；命题 20（重力与到地心的距离；里歇尔在卡宴的摆钟与秒摆；热胀的影响；重力与一度的长度都向两极增加）。据拉丁文第三版（1726）译出；维基文库电子转录。 ↩1 ↩2 ↩3 ↩4 ↩5 ↩6 ↩7 ↩8
- [5] Hélène Horsin Molinaro（Éduscol，法国国民教育部）. Du Système métrique au Système international d’unités (SI) (2025). 教学资源§1.3（第 5 页）十八世纪的长度单位：toise ＝ 6 pieds（≈ 1,949 m）。页面上「1 法尺约合 32.5 厘米」由 1.949 米 ÷ 6 算出。 ↩