趣味大地测量学/主题 01 · 地球椭球理论/第 3 集 · 从圆球到椭球/深入
牛顿的两条水渠
牛顿设想从地心分别通到极点和赤道的两条水渠：赤道那条的水被离心力托轻了一点，要和极点那条一样重，水面就得更高；一个会转的流体地球，于是两极扁、赤道鼓。
正文只提到牛顿的一个推断：地球若能像流体一样调整形状，自转就会让赤道鼓起、两极变扁。《原理》第三卷里，这个推断是怎么得出的？靠的是一个思想实验：设想从地心挖出两条灌满水的水渠。
自转的行星为什么不是正球
牛顿的出发点很朴素：如果各处引力相同，行星自然是个正球；但行星在自转，离转轴越远，物质越有向外抬升的趋势。只要物质是流体，赤道一带就会升高，两极就会降低。[2]
他以海水为例：如果赤道一带不比两极更高，海水就会从两极退去、涌向赤道，淹没那里的一切。天上也有现成的例子：木星自转一周不到十小时，在望远镜里能看清，它两极之间的直径确实比东西方向更短。[2]
两条水渠
牛顿设想：从北极挖一条水渠直通地心，再在地心折向赤道地表，整条渠灌满水。[2]两段水在地心相接。水要保持静止，两边就必须一样重，否则重的一段会把水推向轻的一段。
两段水的情况不同。赤道那段随地球自转，离心作用抵消了它的一部分重量。牛顿算出，赤道上的离心作用约为重力的 1/289，而且渠里每一小段水都符合这一比例。[2]这个比值的复算见硬核把卡宴的重力算一遍。同样一段水柱，放到赤道渠里就会变轻约 1/289。要和极点那段一样重，赤道渠就得装入更多的水，水面自然更高。地球若是由这样的流体构成，地面就会停在水渠水面的高度：两极低、赤道高，也就是两极扁、赤道鼓。
形状也会改变引力
算到这里还只是第一步。地球一旦变扁，引力本身也会跟着变：两极表面离地心更近，赤道更远，物质分布不再像正球那样各个方向都一样，两段水受到的引力都得重新计算。牛顿先假定一个扁度，算出形状带来的引力变化，再按比例推算出让两段水重量恰好相等的形状。[2]他由此算出了地球扁多少。
顺着同一个推理，还能得出几条规律：只要密度和自转快慢不变，行星不论大小，变扁的比例都一样；若自转加快，两个方向的直径之差大致按转速的平方增加。木星自转远比地球快，所以扁得也明显得多。[2]
前提与预言
这个推理有明确的前提：地球物质均匀，并且能像流体一样调整形状。[2]它不仅指出了变形的方向，还给出了可以检验的预言：重力从赤道向两极增大，子午线上的一度从赤道向两极变长。[2]前一条靠摆来检验，后一条靠实地测一度；正文后半部分讲的，正是后一条怎样接受检验。
参考文献与资料
- [1] Isaac Newton. 《Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica》1687 年第一版扉页 (1687). 图片维基共享资源文件「Newton - Principia (1687), title, p. 5, cropped.jpg」；斯特拉斯堡大学图书馆藏本。公有领域。 ↩
- [2] Isaac Newton；Andrew Motte 英译，N. W. Chittenden 修订. The Mathematical Principles of Natural Philosophy（自然哲学的数学原理）— Book III, Propositions XVIII–XX (1687（1846 年英译本）). 原始文献译本第三卷命题 18（自转使赤道隆起、两极收扁；海水与木星的例子）；命题 19（皮卡尔的一度与卡西尼父子的子午线，按球形推算周长；恒星日与赤道上重力和离心力之比 289∶1；两条水渠的平衡；自转快慢与两轴之差）；命题 20（重力与到地心的距离；里歇尔在卡宴的摆钟与秒摆；热胀的影响；重力与一度的长度都向两极增加）。据拉丁文第三版（1726）译出；维基文库电子转录。 ↩1 ↩2 ↩3 ↩4 ↩5 ↩6 ↩7 ↩8