趣味大地测量学/主题 01 · 地球椭球理论/第 1 集 · 第一次算出一个数/硬核
沿纬线飞到底绕远了多少
在同一条纬线上实算小圆与大圆路径，相差近千公里的量级直观解释了洲际航线为何拱向高纬。
正文中提到：在同一条纬线上两地之间沿纬线正东或正西飞行，并不是最短路径。在平面地图上看起来笔直的纬线，在球面上其实是一条半径较小的小圆；真正最短的大圆弧会向高纬度拱起。
但如果只停留在定性描述，很容易让人误以为这两种走法只是相差几十公里的细微差别。只有把两条路线的公里数实实在在地算一遍，才能看清球面几何带来的真实差距。
路径一：沿纬线行进（小圆弧）
选取正文提到的两座城市：北京与马德里。两地均位于北纬 40° 附近：
- 北京：（全课基准点）
- 马德里：（马德里市中心取值，西经记为负值 ，本页自取，未进全课基准表）
为了严格对比「同纬度下沿纬线走与走大圆弧」的差距，我们以北京所在的纬度 为基准，计算从北京经度跨越到马德里经度的小圆弧长。
两地的经度差为：
将经度差换算为弧度：。
在纬度 的纬线圈上，截面圆的半径并不是地球半径 ，而是向赤道面投影后的局部半径 ：
沿着这段半径为 的纬线小圆弧行进，总路程为：
路径二：走空间大圆弧
现在换用正文的标准算法，计算这两点在球面上对应的大圆弧长。
在纬度 上，两地对应的空间方向向量分别为：
- 起点向量
- 终点向量
计算两向量的点积：
对点积求反余弦，得到两点在球心张开的圆心角 ：
乘以地球平均半径 ，得到大圆弧距离：
两条路径之间的绝对差值达到 ，相对差距约为 。
差了将近一千公里
算出的结果打破了许多人的直觉：在跨越 120° 经度的距离上，沿着同一条纬线「直着走」，比拱向高纬度的大圆弧整整多绕了 980.5 公里——几乎相当于额外飞了一趟从武汉到北京的距离。
如果直接连接北京与马德里的实际地理坐标（包含那 的微小纬度差），大圆弧距离进一步缩短为 ，沿纬线绕行的额外距离更是突破了 1000 公里。
这就是民航远程航线规划的底层逻辑：在跨洲际的长途飞行中，多飞近 1000 公里意味着多消耗数吨航油与一个多小时的飞行时间。地图上看似「绕远路」拱向接近北纬 60° 的飞行轨迹，在三维球面上其实是实打实节省了近千公里的捷径。