把弧与弦差的 1.2 km 算出来

连接武汉与北京的大圆弧长为 1052.7 公里，而直接穿透地底连接两点的直线弦长为 1051.5 公里。跨越一千多公里的距离，弯曲的弧与笔直的弦仅仅相差 1.2 公里。

这个 1.2 公里究竟是怎么算出来的？更重要的是，它背后的代数关系还隐藏着一个深刻的工程推论：在多大的地理尺度内，我们可以把弯曲的地球直接当成平的？

从几何严格式到三阶近似

在半径为 $R$ 的圆球剖面上，设两点对应的圆心角为 $\theta$（弧度制）。

两点间的大圆弧长由弧长公式给出：

$$s=R\theta$$

连接两点的弦长 $c$ 则是以球心为顶角、两条半径为腰的等腰三角形底边。从球心向弦作垂线，将圆心角平分为 $\theta /2$，由直角三角关系可得弦长的严格表达式：

$$c=2R\sin \frac{\theta }{2}$$

将两者相减，得到弧长与弦长的差值：

$$s-c=R\left(\theta -2\sin \frac{\theta }{2}\right)$$

在地面两点间的实际测量中，与地球巨大的半径相比，圆心角 $\theta$ 通常是一个很小的数值（例如武汉到北京的 $\theta \approx 0.16524\text{ rad}\approx 9.47^{\circ }$）。利用正弦函数的三阶泰勒展开 $\sin x\approx x-\frac{x^3}{6}$，将 $x=\frac{\theta }{2}$ 代入：

$$\sin \frac{\theta }{2}\approx \frac{\theta }{2}-\frac{1}{6}{\left(\frac{\theta }{2}\right)}^3=\frac{\theta }{2}-\frac{{\theta }^3}{48}$$

将展开式代回差值式中，一阶项相消：

$$2\sin \frac{\theta }{2}\approx \theta -\frac{{\theta }^3}{24}$$

括号内化简后，得到了弧与弦差值的简洁近似公式：

代入实算：核对 1.2 公里

将地球平均半径 $R=6371\text{ km}$ 与武汉到北京的圆心角 $\theta =0.16524\text{ rad}$ 代入该公式：

$$s-c\approx \frac{6371\times 0.16524^3}{24}\approx 1.2\text{公里}$$

这个结果与两地大圆弧长（1052.7 公里）减去穿地弦长（1051.5 公里）的数值完全吻合。在千公里尺度上，地表曲线与空间直线的绝对差距仅仅只有 1.2 公里，相对差异仅约 $0.11\%$。

相对误差与「曲面何时可以当平的」

如果将弧与弦的绝对差值除以弧长 $s=R\theta$，就能得到衡量两者相对变形程度的相对误差公式：

这个式子不仅推导出了 1.2 公里，更回答了一个关键的工程问题：多大范围内曲面可以当作平面处理？

由于误差随着角度的平方急剧衰减：

• 在 1000 公里 的城际尺度（$\theta \approx 0.165\text{ rad}$），相对误差在千分之一量级（$0.11\%$），宏观测量中曲率必须考虑；
• 缩减到 50 公里 的常规区域工程范围（$\theta \approx 50/6371\approx 0.0078\text{ rad}$），相对误差迅速下降到 $\frac{0.0078^2}{24}\approx 2.5\times 10^{-6}$（约百万分之二点五）；
• 如果在 10 公里 以内的城市施工范围，弧与弦的长度差异已深入毫米级别。

这意味着，在数十公里尺度的工程勘测中，曲率带来的变形微乎其微，工程师完全可以直接把地面视作平面进行平面测量与放样。整个平面工程测量与地图投影（主题 03）的合法性，正是建立在 $\frac{{\theta }^2}{24}$ 这项二阶微小量的数学保证之上。