从经纬度到直角坐标的那三行

正文在建立空间直角坐标系时，直接给出了经纬度 $(B,L)$ 转换到空间直角坐标 $(x,y,z)$ 的三行公式。坐标系以球心为原点、$Z$ 轴指北、$X$ 轴穿过本初子午线与赤道交点。这套三维坐标转换看似包含三个空间分量，但几何本质并不复杂——它只需要把三维空间拆成两个互相垂直的平面，用两次初中直角三角形分解就能完成。

第一步：竖直剖面上的直角三角形

在球面上取一点 $P$。过点 $P$ 和地轴（$Z$ 轴）作一个竖直剖面，这个剖面就是点 $P$ 所在的子午面。

从球心 $O$ 到点 $P$ 的线段长度即为球半径 $R$。根据大地纬度的几何定义，线段 $OP$ 与赤道平面的夹角正是纬度 $B$。

在竖直子午面内的直角三角形中：

• 沿 $Z$ 轴方向的竖直高度为 $z$；
• 点 $P$ 垂直投影到赤道平面上的线段长度设为 $r$。

利用最基础的三角函数，可以立即解出这两个分量：

$$z=R\sin B$$ $$r=R\cos B$$

这一步直接锁定了点 $P$ 的竖直高度 $z$。同时，在赤道平面上留下了一个距离原点为 $r=R\cos B$ 的投影点。

第二步：赤道平面上的直角三角形

完成了竖直方向的分解后，视线切换为从北极上空俯视赤道平面。

在赤道平面内，以球心 $O$ 为坐标原点建立二维平面直角坐标系 $(X,Y)$。点 $P$ 在赤道面上的投影点 $P^{\prime }$，距离原点 $O$ 的距离为刚才算出的 $r$。

线段 $O{P}^{\prime }$ 与 $X$ 轴（本初子午线方向）之间的夹角，正是大地经度 $L$。

在赤道平面的直角三角形中，将斜边 $r$ 沿 $X$ 轴与 $Y$ 轴分解：

$$x=r\cos L=R\cos B\cos L$$ $$y=r\sin L=R\cos B\sin L$$

两步合并，就得到了空间直角坐标的完整转换式：

两张图构成的几何骨架

把三维公式拆解为「竖直剖面求高度与投影半径，赤道俯视分解经度」之后，整套空间坐标变换就还原为两个独立的平面直角三角形。

这个「先投到赤道面得 $r$，再按经度分解得 $(x,y)$」的双三角形结构，是空间大地测量学中最核心的几何骨架。在后续章节中，即便地球模型从理想正球体升级为更复杂的旋转椭球体，坐标转换的代数形式会因曲率半径的变化而调整，但两步投影的几何骨架始终保持一致。